اتحاد وندرموند

اتحاد واندرموند، در ریاضیات یک اتحاد ترکیبیاتی است که نشان می دهد در صورتی که m,n,r اعداد صحیح نامنفی بوده و r کوچکتر مساوی از m و n باشد، آنگاه:

این قضیه در قرن هجدهم توسط ریاضی‌دان الکساندر-توفیل وندرموند کشف شد و به همین دلیل، اتحاد واندرموند نامیده می‌شود.

اثبات ترکیبیاتی

فرض کنید m عنصر در یک مجموعه و n عنصر در مجموعه دوم وجود داشته باشد. آنگاه تعداد روش‌هایی که می‌توان r عنصر را از اجتماع این مجموعه‌ها انتخاب کرد، برابر است با

روش دیگر برای انتخاب r عنصر از اجتماع این مجموعه‌ها این است که k عنصر از مجموعه اول و r-k عنصر از مجموعه دوم برداشته شود که k یک عدد صحیح ۰≤k≤r است. با استفاده از اصل ضرب، این کار را می‌توان به

حالت انجام داد. بنابراین این تعداد روش‌های انتخاب r عنصر از اجتماع، همچنین برابر است با

که این تساوی اتحاد واندرموند را ثابت می‌کند.

نتایج

اگر n یک عدد صحیح نامنفی باشد، آنگاه

نتیجه بالا شکلی از اتحاد واندرموند با n=r=m است.

اثبات

از اتحاد واندموند با n=r=m استفاده میکنیم. نتیجه می‌شود:

تساوی آخر با استفاده از رابطه

به دست آمده‌است.

منابع

ریاضیات گسسته / تألیف کنت. اچ. روزن